Subbase（Definition IX.2.4）とLemma IX.2.5（収束による判定）
- Subbase（Definition IX.2.4）とLemma IX.2.5（収束による判定） #Card
- subbase の定義と、収束 $\xi$ が「subbase $\mathcal{S}$ を持つ位相」であることの直接的な判定条件は。
$\mathcal{S}\subset\mathcal{O}_\theta$ が subbase :⟺ 有限交叉の族 $\mathcal{S}^{\cap}$（cards/topology/adherence-finite-intersections-caveat の記法）が base。
Lemma IX.2.5: $\mathcal{S}\subset\mathcal{O}\xi$、$\bigcup\mathcal{S}=X$ とする。$\xi$ が $\mathcal{S}$ を subbase とする位相 $\iff$ 各 $x,\ \mathcal{F}$ に対し $$\mathcal{S}\cap{x}^\uparrow\subset\mathcal{F}\implies x\in\lim{}\xi\mathcal{F}. \tag{IX.2.1}$$
（$\mathcal{S}\cap{x}^\uparrow$ = $x$ を含む $\mathcal{S}$ の元全体。）「$x$ を含む部分基の元をすべて含むフィルターは $x$ に収束する」という一行だけで、$\xi$ が位相かつ $\mathcal{S}$ が subbase であることが同時に検証できる — subbase から位相を「生成する」標準的な手続きの正当化。
TopologicalSpace.generateFrom。