📐 Theorem VIII.2.10（族 $\mathcal{A}$ の被覆であることの特徴づけ）
- 📐 Theorem VIII.2.10（族 $\mathcal{A}$ の被覆であることの特徴づけ） #Card
- $\mathcal{P}$ が isotone 族 $\mathcal{A}$ の被覆であることの3同値条件は。
$\mathcal{P}$ が族 $\mathcal{A}$ の被覆 :⟺ ある $A\in\mathcal{A}$ で $\mathcal{P}\trianglerighteq_\xi A$（Def VIII.2.9）。$\mathcal{A}$ が isotone のとき次は同値:
$$\mathcal{P} \trianglerighteq_\xi \mathcal{A} \iff \operatorname{adh}\xi \mathcal{P}^c \notin \mathcal{A}^{#} \iff \operatorname{inh}\xi \mathcal{P} \in \mathcal{A}.$$
（cards/topology/grill の記法 $\mathcal{A}^{#}$ を利用。）Remark: 実は収束 $\xi$ は本質的に冗長になる — 「$\mathcal{P}\trianglerighteq_\xi\mathcal{A} \iff \operatorname{inh}_\xi\mathcal{P}\in\mathcal{A}$」という純粋に集合演算子だけの記述に還元される（isotone 族なら）。フィルター $\mathcal{A}$ の場合はコンパクト性の定義（VIII.3）に直結。