📐 概一様収束の可算台修正 $\mathbb{E}a_\mu$ は擬位相でない (Proposition XXII.9.21 / Remark XXII.9.22・9.23)
- 📐 概一様収束の可算台修正 $\mathbb{E}a_\mu$ は擬位相でない (Proposition XXII.9.21 / Remark XXII.9.22・9.23) #Card
- $[0,1]$ 上の「動く区間」列から作った超フィルターの構成で、$\mathbb{E}a_\mu>S(\mathbb{E}a_\mu)$（擬位相でないこと）をどう示すか。
$f_{k,n}:=\chi_{[\frac{n-1}{k},\frac{n}{k}]}$（Example XXII.9.6 と同じ「動く区間」列）を使い、${0,1}^{[0,1]}$ 上のフィルター $\mathcal{F}$ を「${(k,n):f_{k,n}\notin F}$ が有限」であるような $F$ の全体（＝この可算集合の余有限フィルター）として定義する。$\mathcal{F}$ は列フィルターだが、各 $x$ で ${(k,n):f_{k,n}(x)=1}$ が無限（Example XXII.9.6 と同じ理由）なので $0$ に概収束しない（＝概一様収束もしない）。
鍵となる主張: $\mathcal{F}$より細い任意の超フィルター $\mathcal{U}$ は $0$ に概一様収束する。証明は選択 $\pi(\chi_A)\in A$ を取り $\pi[\mathcal{U}]$ を $[0,1]$ 上の超フィルター基とし、$[0,1]$ のコンパクト性から $\pi[\mathcal{U}]\to x_{\mathcal{U}}$ を得て、区間の幅が縮む（$1/k\to0$）ことから $\mathcal{U}$ が $x_{\mathcal{U}}$ の任意近傍の外で一様に $0$ に収束することを示す。
したがって $\mathcal{F}$ 自身は概一様収束しないのに、$\mathcal{F}$ より細いすべての超フィルターは概一様収束する——これはまさにcards/topology/pseudotopologyの否定（$\lim_\xi\mathcal{F}\neq\bigcap_{\mathcal{U}\in\beta\mathcal{F}}\lim_\xi\mathcal{U}$）：$\mathcal{F}$ は $\mathbb{E}a_\mu$ の擬位相化 $S(\mathbb{E}a_\mu)$ では（超フィルターだけ見れば）$0$ に収束するが、$\mathbb{E}a_\mu$ 自身では収束しない。よって $\mathbb{E}a_\mu>S(\mathbb{E}a_\mu)$。
Remark XXII.9.22・9.23（帰結）: $\mathcal{F}$ は列フィルターなので、この構成に現れる超フィルターはすべて countably carried（$\mathbb{E}=\mathbb{S}$ 超フィルターの階層で一致：$S\mathbb{E}=\mathbb{E}S$）。ゆえに $\mathbb{E}a_\mu>S(\mathbb{E}a_\mu)$ から $a_\mu>Sa_\mu$ が従い、Prop XXII.9.17・Cor XXII.9.19 と合わせて（$\mu$ が $[0,1]$ 上の Lebesgue 測度のとき） $$a_\mu>Sa_\mu\geq m_\mu=Tm_\mu.$$ また Prop XXII.9.2・9.4 により $\operatorname{Seq}a_\mu$ は概一様収束と概収束の共通の sequentially founded 制限であり、測度論的。