📐 Proposition XV.1.2（free（$T_1$）pretopology の $\ker\mathcal{R}$ 特徴づけ）
- 📐 Proposition XV.1.2（free（$T_1$）pretopology の $\ker\mathcal{R}$ 特徴づけ） #Card
- $\lambda\mathcal{R}$ が free（$T_1$）であることを $\ker\mathcal{R}$ の言葉でどう言い換えるか。
$$\lambda\mathcal{R}\text{ is free (}T_1\text{)} \iff \ker\mathcal{R} = \bigcap_{R\in\mathcal{R}} R = \Delta.$$
証明: cards/topology/induced-pretopology-lambda-r の adherence 公式 (XV.1.2) より、$\lambda\mathcal{R}$ が free とは $x_1\in\operatorname{adh}{\lambda\mathcal{R}}{x_0}\implies x_0=x_1$、すなわち $\bigcap{R\in\mathcal{R}}R^-\subset\Delta$、同値に $\bigcap_{R\in\mathcal{R}}R\subset\Delta$。