Proposition II.2.21 (可算補有限フィルターは列型)
- Proposition II.2.21 (可算補有限フィルターは列型) #Card
- 無限可算集合の補有限フィルター $(B)_0$ はどんなフィルターか。
The cofinite filter of an infinite countable set is sequential and free.
証明の骨子:
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列型: $B$ が無限可算なら恒等写像 $i_B \in B^B$ を列とみなす（$B$ 自身が無限可算添字集合）。このとき $E \in \Gamma_{i_B} \iff i_B^-(E) = E \cap B$ が $B$ で cofinite $\iff B \setminus E$ 有限 $\iff E \in (B)_0$、よって $(B)0 = \Gamma{i_B}$ で列型。
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自由: 各 $x$ で $X \setminus {x} \in (B)_0$（$B \setminus (X \setminus {x}) \subset {x}$ 有限）なので $\operatorname{ker}(B)_0 = \emptyset$。あるいは cards/topology/lem-ii-2-8 より $(B)_0 \supset (B)_0$ で自由。
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帰結: $(B)_0$ が proper sequential filter on $X$ $\iff$ $B$ が $X$ の無限可算部分集合。prime cofinite convergence の列による記述（cards/topology/prime-cofinite-convergence）の根拠。