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Conjugate preuniformity $\mathcal{R}^-$ と Example XV.1.3（実数直線 $\mathcal{V},\mathcal{V}^+,\mathcal{V}^-$、Sorgenfrey）

  • Conjugate preuniformity $\mathcal{R}^-$ と Example XV.1.3（実数直線 $\mathcal{V},\mathcal{V}^+,\mathcal{V}^-$、Sorgenfrey） #Card
    • $\mathcal{R}^-$ の定義と、実数直線上の3つの preuniformity 例（標準・上下 Sorgenfrey）は。

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preuniformity $\mathcal{R}$ に対し $\mathcal{R}^-:={R^-:R\in\mathcal{R}}$ も preuniformity — conjugate preuniformity。一般に $\mathcal{R}$ と $\mathcal{R}^-$ は互いに比較不能。

Example XV.1.3: $X=\mathbb{R}$。

  • $B_r:={(x,y):|y-x|<r}$ の filter-base が生成する preuniformity $\mathcal{V}$: $\lambda\mathcal{V}=\nu$（標準位相）、$\mathcal{V}^-=\mathcal{V}$（対称なので）。
  • $B_r^+:={(x,y):\max(y-x,0)<r}$ が生成する $\mathcal{V}^+$: $\lambda\mathcal{V}^+=\varsigma^+$（上 Sorgenfrey 直線、Example III.3.6）。
  • $B_r^-:={(x,y):\max(x-y,0)<r}$ が生成する $\mathcal{V}^-$: $\lambda\mathcal{V}^-=\varsigma^-$（下 Sorgenfrey 直線）。

$\mathcal{V}^+,\mathcal{V}^-$ は互いに conjugate かつ比較不能 — 対称でない preuniformity の典型例。