Uniform continuity（Definition XV.3.1）／📐 Proposition XV.3.2（$\varepsilon$-$\delta$ 的特徴づけ）
- Uniform continuity（Definition XV.3.1）／📐 Proposition XV.3.2（$\varepsilon$-$\delta$ 的特徴づけ） #Card
- preuniformity の言葉で一様連続性をどう定義するか。古典的な $\varepsilon$-$\delta$ 版とどう対応するか。
$\mathcal{P},\mathcal{R}$ を $X,Y$ 上の preuniformity とする。$f\in Y^X$ が uniformly continuous、記号 $f\in U(\mathcal{P},\mathcal{R})$ :⟺ $(f\times f)[\mathcal{P}]\geq\mathcal{R}$。
Prop XV.3.2: $f\in U(\mathcal{P},\mathcal{R}) \iff$ 各 $R\in\mathcal{R}$ に対しある $P\in\mathcal{P}$ が存在し、$(x_0,x_1)\in P\implies(f(x_0),f(x_1))\in R$（すべての $(x_0,x_1)\in X\times X$ について）。
これは擬距離の場合の古典的 $\varepsilon$-$\delta$ 一様連続性（cards/topology/uniform-continuity-extension、Definition X.5.4）を preuniformity 一般に拡張したもの。$P,\mathcal{R}$ が擬距離から来るとき、この条件は「$\delta$ が $x$ に依らず取れる」という通常の意味に一致する。