📐 Proposition XII.3.13（可算 weight の Hausdorff 空間で hemicompact ⟺ 局所コンパクト）
- 📐 Proposition XII.3.13（可算 weight の Hausdorff 空間で hemicompact ⟺ 局所コンパクト） #Card
- 可算 weight という仮定のもとで、hemicompact と locally compact が一致する理由は。$\mathbb{Q}$ が反例にならない理由は。
$X$ が Hausdorff かつ可算 weight なら: $X$ が hemicompact $\iff$ $X$ が locally compact。
証明の骨子（⟸）: 局所コンパクトなら（可算 weight 経由の第二可算基の構成、Thm IX.2.21）コンパクト集合の列 ${B_n}$ で ${\operatorname{int}B_n}$ が基をなすものが取れ、有限段の合併 $K_n:=\bigcup_{m\leq n}B_m$ が hemicompact 性の証拠列になる。
（⟹）対偶: コンパクト近傍を持たない点 $x$ があれば、近傍基 ${V_n}$ から $x_n\in V_n\setminus K_n$ を選べ、${x_n}\cup{x}$ がコンパクトなのに $K_n$ に吸収されないという矛盾を作る。
例（Example XII.3.14）: $\mathbb{Q}$ は σ-compact（可算だから）だが、可算 weight かつ（どこも）局所コンパクトでないので、この命題により hemicompact でない — hemicompact ⟹ σ-compact の逆が不成立な反例。