📐 概一様収束 ⟹ 測度収束 (Lemma XXII.9.5)
- 📐 概一様収束 ⟹ 測度収束 (Lemma XXII.9.5) #Card
- 概一様収束から測度収束を導く議論の骨子は。
$(h_n)n$ が $0$ に概一様収束するとする。$\varepsilon,\eta>0$ を固定。仮定より $\mu(\Omega\setminus A\varepsilon)<\varepsilon$ かつ $\sup_{A_\varepsilon}|h_n|<\eta$（$n>n_\varepsilon$）なる $A_\varepsilon,n_\varepsilon$ が取れる。このとき $n>n_\varepsilon$ で $A_\varepsilon\cap{|h_n|\geq\eta}=\emptyset$（$A_\varepsilon$ 上で $\sup|h_n|<\eta$ だから）なので ${|h_n|\geq\eta}\subset\Omega\setminus A_\varepsilon$、よって $\mu{|h_n|\geq\eta}<\varepsilon$（$n>n_\varepsilon$）。$\varepsilon>0$ は任意なので測度収束が従う。
古典的な含意の連鎖の最後のピース: 概一様 ⟹ 概収束（Prop XXII.9.2）と概一様 ⟹ 測度収束（本補題）が並立し、有限測度では概収束 ⟺ 概一様収束（Egorov、Prop XXII.9.4）となる。