稠密関連用語（codense・nowhere dense・meager・residual）(IX.5 Supplement)
- 稠密関連用語（codense・nowhere dense・meager・residual）(IX.5 Supplement) #Card
- dense/codense/nowhere dense/meager/residual の定義と、これらが前位相的な概念である理由は。
$A$ が $\xi$-dense（cards/topology/density-and-separability）$\iff \operatorname{adh}\xi A=X$。$A$ が codense :⟺ 補集合が稠密、同値に $\operatorname{inh}\xi A=\emptyset$。$\mathbb{Q}$ と $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ はどちらも稠密かつ余稠密。
Definition IX.5.18:
- $A$ が nowhere dense（rare） :⟺ $\operatorname{inh}\xi(\operatorname{adh}\xi A)=\emptyset$（閉包の内部が空）
- 可算個の rare 集合の合併が meager（first category）
- meager でない集合が second category
- meager 集合の補集合が residual
これらはすべて $\operatorname{adh}/\operatorname{inh}$ だけで書けるので前位相的な概念（cards/topology/adherence-pretopology-intersection の精神：前位相は adherence だけで決まる、Prop VI.1.5）。
Example IX.5.19: $A={2^{-n}:n<\omega}\subset\mathbb{R}$ は nowhere dense（$\operatorname{cl}A=A\cup{0}$ は可算で内部が空）。実は $\mathbb{R}$ の可算部分集合は常に内部が空。
測度論への視線: 「meager（第一類）」はベール圏定理・零集合の位相的類似物として測度論の可測性・零集合の議論と並走する。