📐 Proposition XII.5.3・(XII.5.3)（Cantor 集合 ≅ Cantor 立方体、$\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}$）
- 📐 Proposition XII.5.3・(XII.5.3)（Cantor 集合 ≅ Cantor 立方体、$\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}$） #Card
- Cantor 集合と Cantor 立方体が同相であることの証明の骨子と、そこから従う連続体の濃度の公式は。
写像 $F:{0,1}^{\mathbb{N}}\to C$、$F(f):=\sum_n 2f(n)/3^{n+1}$ は全単射（Prop XII.5.1 の一意表現性から単射、(XII.5.1) から全射）。積位相での収束が成分ごとの収束（離散因子）に一致することと cards/topology/cantor-set-construction（Lemma XII.5.2）から $F$ は連続、cards/topology/prop-xii-2-3-compact-above-hausdorff-equal（Cor XII.2.4）でコンパクト・Hausdorff 間の連続全単射は同相なので $F$ は同相写像。
帰結（連続体の濃度）: ${0,1}^{\mathbb{N}}$ と $C$ は等有力、$C\approx[0,1]\approx\mathbb{R}$（Example I.5.1）。${0,1}^{\mathbb{N}}$ は $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ と等有力（(I.5.4)）なので $$\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}.$$
Cor XII.5.4: Cantor 集合・Cantor 立方体は0次元（clopen 基を持つ）。
集合論の連続体の濃度公式が、純粋に位相的な同相の議論（コンパクト・Hausdorff 間の連続全単射）から導かれるという構図が印象的。