📐 Proposition VII.3.10（連続性の5同値条件・近傍/閉包/内部版）
- 📐 Proposition VII.3.10（連続性の5同値条件・近傍/閉包/内部版） #Card
- 近傍・閉包・内部で書いた5つの同値条件と、連続性との関係は。
（$A \subset X, B \subset Y, x \in X$ について）
$$f[\mathcal{N}\xi(x)] \geq \mathcal{N}\tau(f(x)) \quad (1)$$ $$\mathcal{N}\xi(x) \geq f^-[\mathcal{N}\tau(f(x))] \quad (2)$$ $$f(\operatorname{cl}\xi A) \subset \operatorname{cl}\tau f(A) \quad (3)$$ $$\operatorname{cl}\xi f^-(B) \subset f^-(\operatorname{cl}\tau B) \quad (4)$$ $$f^-(\operatorname{int}\tau B) \subset \operatorname{int}\xi f^-(B) \quad (5)$$
(1)〜(5) は互いに同値。$f \in C(\xi,\tau)$ は (6) として、これらを常に含意し、$\tau$ が位相なら (1)〜(5) のどれかが (6) を含意する（逆向き）。
Prop VI.4.1/VI.4.4（前位相版、$\operatorname{adh}/\operatorname{inh}$）との違いは冪等性のみ。Remark VII.3.11: 逆包含 $f(\operatorname{int}A) \supset \operatorname{int}f(A)$ は同値ではない（要注意）。
本ノート RoyalRoad.ChapterVII.prop_VII_3_9_10（continuous_iff_continuousAt 経由の近傍フィルター特徴づけを含む TFAE、Notes/ChapterVII.lean、lake build 済み）